Экология и безопасность жизнедеятельности

в популяции имелось N0 особей,


 (10.5)

 а при i

= 0 – уравнение

 (10.6)

(естественно считать, p-1(t)?0).

Если в начальный момент времени t=0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (10.4)–(10.6)

имеют вид:

 (10.7)

Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи (10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t

N(t)=
(t)                     (10.8)

и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)

.              (10.9)

Для вычисления N(t)



заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает



Продолжая этот процесс сложения, получим



т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение

N'(t)=(? - ?)N(t)               (10.10)

с начальным условием (10.7)

       (10.11)

Решение его, очевидно, равно

N(t)=
,                (10.12)

в частности, при ? > ? численность популяции экспоненциально возрастет (при ?=?+a определяется уравнением (10.3)), а при ? < ?

экспоненциально убывает при t

> ?. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация

                (10.13)

откуда при ? > ? для коэффициента вариации получаем выражение

                  (10.14)

которое при t

> ? стремится к величине
. Следовательно, при достаточно больших начальных значениях популяции N0 среднее квадратичное отклонение от N(t) является равномерно малым, и детерминистская модель дает адекватное представление о поведении популяции при больших значениях времени.


Содержание раздела